带棱角物块一个棱角静止置于斜面上之后将如何运动?

球或圆柱体等截面为圆形的物体沿斜面的运动,很多标准的教科书都有详尽的论述。球或圆柱体沿斜面运动,摩擦力是根本影响因素。但是,带有棱角的物体沿斜面的运动,却甚少有讨论。

我们现在讨论带棱角物块一个棱角静止置于斜面上之后将如何运动。



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温伯格:给科学工作者的四条黄金建议



史蒂文·温伯格(1933年5月3日--),美国物理学家,因提出基于对称性自发破缺机制的电弱理论获得1979年获诺贝尔物理学奖。

初涉科研,我应该学习哪些东西?什么是最重要的?我应该如何确定自己的研究方向?

2003年6月,著名物理学家、诺奖得主史蒂文·温伯格在加拿大麦吉尔大学的科学大会上为毕业生所做的演讲,为即将步入研究领域的大学毕业生们给出了自己的四条建议。

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聚电解质刷浸没于纳米粒子溶液中



图1 聚电解质刷浸没于纳米粒子溶液中

体系示意图如图1所示。一平面聚电解质刷, 平均每条接枝的聚电解质链占据的面积为$\sigma $. 假设链节的链的Kuhn 长度$b$与溶液Benjerum 长度$l_{\mathrm B}$ 同数量级, 这保证链不被静电相互作用强烈拉伸,仍然保持为柔性链。接枝链链长为$N$,溶液中纳米粒子大小为链节大小的$P$倍。接枝链带电分率为$\alpha$,一个纳米粒子所带电量为$Z$。本文暂只考虑聚电解质链和纳米粒子的电荷符号相同的情形。设溶液中接枝高分子、纳米粒子、反离子的体积分数分别为$\phi_{\mathrm N} (z)$、$\phi_{\mathrm P} (z)$、$\phi_{\mathrm C} (z)$,本体溶液中,纳米粒子的体积分数为$\varPhi$。

我们现在应用强拉伸理论研究这个体系。

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耶鲁基础物理6.4 做功与路径



设与一维空间类似,有这样一种情况成立,即某个力的线积分仅依赖于起点和终点。我们就像在一维空间那样,将这个积分所得的结果记为$U_1-U_2$。最终会得到

$$ K_2+U_2=K_1+U_1 \label{6.60}\tag{6.60} $$

要得到这个公式,这个关系一定成立吗?

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耶鲁基础物理6.3二维空间中力做功与矢量点乘



对于一维运动,动能$K=\frac{1}{2}mv^2$,对动能求导,得

$$ \frac{\mathrm dK}{\mathrm dt}=mv\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=mva=Fv=F\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} \label{6.28}\tag{6.28} $$

两边可消去$\mathrm dt$,得

$$ \mathrm dK=F\mathrm dx \label{6.29}\tag{6.29} $$

两边积分,得

$$ \begin{align} K_2-K_1=&\int_{x_1}^{x_2}F(x)\mathrm dx \label{6.30}\tag{6.30} \\ =&U(x_1)-U(x_2)=U_1-U_2\label{6.31}\tag{6.31} \end{align} $$

整理得能量守恒定律:

$$ K_2+U_2=K_1+U_1 \label{6.32}\tag{6.32} $$

\eqref{6.31}、\eqref{6.32}两式成立的条件是力$F$只依赖于坐标$x$,与其他量,如速度$v$、加速度$a$等,无关。

现在,我们看看二维情形。

二维情况下,力和位移都是有两个分量的矢量,功的表达是什么样的?即如何将$\mathrm dW=F\mathrm dx$推广到二维?

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