Essential University Physics 23.4 电场中的能量

带电电容器和不带电电容器有何不同?不在总电量,都是零,但是电荷排布方式不同。电容器里存储的能量正是来自电荷排布。电容器里存储的能量到底是什么能量?我们对于第23.1节中的图23.1中的三角形电荷分布也可以问同样的问题。单个电荷并没有变化,变化的是电荷的排布方式。排布带来能量,能量来自哪里?

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诺贝尔奖得主杰尔姆·弗里德曼在台湾畅谈粒子物理研究心得

2016年7月12日,诺贝尔物理学奖(1990)得主杰尔姆·弗里德曼(Jerome Isaac Friedman)教授应邀莅临国立清华大学,以《观察质子中的夸克》为题,发表了一场「2016诺贝尔大师在清华」的通俗讲座。会前Friedman教授应国家理论科学研究中心主任朱创新教授邀请,参访国家理论科学研究中心,并与中心研究人员进行交流。当天Friedman教授也与朱教授、张元翰教授等人做了一场会谈,会后并接受媒体记者採访。 Friedman教授于本次访谈中除了深入浅出地提及他当年发现夸克的实验过程,更分享了他自己求学、投身物理、专注研究后一路走来的经验与感想,并以他个人角度侃侃而谈对当今物理实验的发展、学生的训练与生涯规划等议题之洞见。

本文将繁体字版本整理成简体字版本,并将文中一些英文改为了中文,添加了一些超链接。

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热力学中两个常用偏导关系的证明

三个变量 $A$、$B$、$C$,任意一个变量都是其他两个变量的可微函数,证明如下关系:

  1. $\left (\frac{\partial A}{\partial B} \right)_C\left (\frac{\partial B}{\partial C} \right)_A\left (\frac{\partial C}{\partial A} \right)_B=-1$

  2. $\left (\frac{\partial A}{\partial C} \right)_B=1\bigg/\left (\frac{\partial C}{\partial A} \right)_B$

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熵增动力学

设 $P(C,t)$ 为体系在 $t$ 时刻居于构型 $C$ 的概率,则含时熵可定义为

\begin{equation}
S(t)=-\sum_C P(C,t)\ln P(C,t)
\label{entropy}
\end{equation}

对时间求导,

\begin{equation} \begin{split} \frac{d S(t)}{dt}=&-\sum_C \frac{d P}{dt}(C,t)\ln P(C,t)-\sum_C \frac{d P}{dt}(C,t)\\ \\ =&-\sum_C \frac{d P}{dt}(C,t)\ln P(C,t) \end{split} \label{dentropy} \end{equation}

第一个等号右边第二项消失,因为归一化条件 $\sum_C P(C,t)=1$。

主方程代入 \eqref{dentropy}式,有

\begin{equation} \begin{split} \frac{d S(t)}{dt} =&-\sum_C \ln P(C,t)\sum_{C'(\neq C)}\left [-W(C'|C)P(C,t) + W(C|C')P(C',t) \right ]\\ \\ =&\sum_{C,C'(C\neq C')}\ln P(C,t)\left [W(C'|C)P(C,t) - W(C|C')P(C',t) \right ]\\ \\ =&\sum_{C,C'(C\neq C')}\ln P(C',t)\left [W(C|C')P(C',t) - W(C'|C)P(C,t) \right ] \end{split} \label{dentropym} \end{equation}

上式第二个等号右边,交换求和指标 $C$ 和 $C'$,得最后一个等号。将第二个和最后一个等号右边的式子相加,并利用细致平衡条件,$W(C'|C)=W(C|C')$,得

\begin{equation}
\frac{d S(t)}{dt} = \frac{1}{2}\sum_{C,C'(C\neq C')}\left [ \ln P(C',t)-\ln P(C,t)\right ]\left [ P(C',t)- P(C,t)\right ]W(C'|C)
\label{dentropyf}
\end{equation}

上式中 $\ln P(C',t)-\ln P(C,t)$ 与 $P(C',t)- P(C,t)$ 同号,因此

\begin{equation}
\frac{d S(t)}{dt} \ge 0
\label{2ndlaw}
\end{equation}

此正是用随机过程表述的热力学第二定律。

对于定态,$dS/dt=0$,对各构型对 $(C,C')$,至少满足 $P_{\mathrm{st}}(C)=P_{\mathrm{st}}(C')$ 或 $W(C'|C)=0$ 之一。这里 $P_{\mathrm{st}}(C)$ 为定态概率分布。 $P_{\mathrm{st}}(C)=P_{\mathrm{st}}(C')$ 说的正是等概率原理。

主方程和细致平衡

本文承接马尔可夫过程一文。

研究体系居于某构型 $C$ 的概率的时间演化。

最简单的情形,时间是离散的,构型也是离散的。$P(C,t)$ 为体系在 $t$ 时刻居于构型 $C$ 的概率。$P(C,t)$ 的时间演化为:

\begin{equation}
P(C,t+1)=\sum_{C'}T(C|C')P(C',t)
\label{Pt+1}
\end{equation}

其中 $T(C|C')$ 为转移概率,见马尔可夫过程

连续时间演化过程,可以由离散时间演化方程取无穷小时间步 $dt$ 来得到。$dt\rightarrow 0$ 时,转移概率 $T(C|C')$ 有

\begin{equation}
T(C|C')=W(C|C')dt+\mathcal O(dt^2) \quad if \quad C' \neq C
\label{conneq}
\end{equation}

\begin{equation}
T(C|C)=1-\sum_{C'(\neq C)}W(C'|C)dt+\mathcal O(dt^2)
\label{coneq}
\end{equation}

将\eqref{conneq}、\eqref{coneq}两式代入\eqref{Pt+1}式,有

\begin{equation}
P(C,t+dt)=\sum_{C'(\neq C)}W(C|C')dtP(C',t) + \left (1-\sum_{C'(\neq C)}W(C'|C) \right )P(C,t)
\label{Pt+dt}
\end{equation}

上式左边展开至 $dt$ 一阶项,

\begin{equation}
P(C,t+dt)=P(C,t)+\frac{dP}{dt}(C,t)dt+\mathcal O(dt^2)
\label{expandPt+dt}
\end{equation}

将\eqref{expandPt+dt}式代入\eqref{Pt+dt}式,得

\begin{equation}
\frac{dP}{dt}(C,t)=-P(C,t)\sum_{C'(\neq C)}W(C'|C) + \sum_{C'(\neq C)}W(C|C')P(C',t)
\label{master}
\end{equation}

上式右边第一项是从构型 $C$ 变成其他构型的速率,第二项为从各种构型变成构型 $C$ 的速率。

由主方程\eqref{master}的顶态解,$\frac{dP}{dt}(C,t)=0$,有

\begin{equation*} \sum_{C'(\neq C)}\left [-W(C'|C)P(C) + W(C|C')P(C')\right ]=0 \end{equation*}

一些随机过程里,上式方括号对所有 $C'$ 都成立,即

\begin{equation}
W(C'|C)P(C) = W(C|C')P(C')
\label{detailbalance}
\end{equation}

此即为细致平衡。

分子尺度上的物理过程一般满足细致平衡,这反映的是微观可逆性。

统计力学习题:二维可极化材料

问题:二维可极化材料,由大量电偶极矩为 $\mu$ 的电偶极子构成,电偶极子之间无相互作用。电偶极子在平面内只允许有四种取向:与外电场 $\vec{E}$ 平行、反平行或垂直。略去电偶极子动能,总能量只计电偶极子与外电场的作用能。计算 (i) 极化强度,即沿电场方向的总电偶极矩。(ii) 体系比热。

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